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文本内容:
变化率问题
1.
1.1【课标要求】
1.通过实例分析•、了解函数平均变化率的意义.
2.会求函数fx在改到加 ax之间的平均变化率.
3.掌握求函数fx在加到的 △/之间的平均变化率的方法与步骤.【核心扫描】
1.求函数fx在加到及 ax之间的平均变化率.重点
2.理解实际问题中的平均变化率.难点01》课前探究学习挑战自我点点落实
1.函数的变化率的定义函数y=f{x}从内到尼的平均变化率为「工t礼，习惯上用△x表示x\—x2曲一乂，即bx=xlx\,可把△刀看作是相对于汨的一个“增量”，可用由 ax代替尼；类似地，△y=fx2—〃幻，于是平均变化率可以表示为尹.即#二/及—=—/、*称为函数在区间［*,疝a xx2—x\△x上的平均变化率.
2.平均变化率的计算公式自变量的改变量△=之一，i函数的改变量—必=/x—rxx=f a-o △x—f%△y必一切f x,-fx\f施 a x—f ab尼一为尼一x】bx想一想
1.函数y=fx在［乂，%］内的平均变化率为o,能否说明函数y=ax没有发生变化？提示不能说明.理由函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势,增量ax取值越小，越能准确地体现函数的变化情况.在某些情况下，求出的平均变化率为0,并不一定说明函数没有发生变化.如函数〃才=/在［—2,2］上的平均变化率为0,但fx的图象在［-2,2］上先减后增.
2.平均变化率=/一十一；一/刘中,ax、的值是否可为任dx dx意实数？提示否.ax、ay的值可正、可负，但ax的值不能为0,ay的值可以为
0.名师点睛
1.关于平均变化率的理解关于函数的平均变化率，应注意以下几点1ax是自变量均相对于汨处的改变量，且的是由附近的任意一点，即ax=/2—乂#0，但可以为正，也可以为负.2注意自变量与函数值的对应关系，公式中若△x=x2—x,则△y=一fx；若卜x=x\—x，2,则△y=fx］一〃及.*j⑶在公式含八丁国中,当为取定值,△x取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当△工取定值，不取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.特别地，当函数/,x为常数函数时，ay=0,则z=.
2.一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率.
3.理解平均变化率要注意以下几点⑴平均变化率-f二表示点示,f幻与点心汽外连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”., a；―2为求点及附近的平均变化率,上述表达式常写为的形式.3函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量ax取值越小，越能准确体现函数的变化情况.q2»课堂讲练互动循循善诱触类旁通题型一求平均变化率【例1】求函数y=fx=3* 2在区间以，加 ax］上的平均变化率，并求当无=2,ax=
0.1时平均变化率的值.［思路探索］解答木题可先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解.解函数y=fx=3f 2在区间［与，斯 ax］上的平均变化率为f斯 △x-fx0［3斯 △x「 21—3/ 2ao △x一照a x=6曲 3ax6…*37△x当天=2,ax=o.1时，函数y=3f 2在区间［2,
2.1］上的平均变化率为6x2 3x
0.1=
12.
3.规律方法求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量与函数值的增量△入求平均变化率的主要步骤是1先计算函数值的改变量△y=fx-fx；2再计算自变量的改变量ax=x—xo；3得平均变化率在=-f△x xi—xo【变式1】在例1中，分别求函数在%=1,2,3附近取］时的平均变化率k,2,h,并比较其大小.解由例题可知，函数在［无，为 △/］上的平均变化率为6x° 3ax.当m=1,ax=5寸，函数在［1,
1.5］上的平均变化率为％=6x1 3x
0.5=
7.5；当天=2,时，函数在［2,
2.5］上的平均变化率为%=6义2 3乂
0.5=
13.5；当天=3,ax=j时，函数在［3,
3.5］上的平均变化率为4=6义3 3乂
0.5=乙
19.5,所以乐人＜%.题型二求物体运动的平均速度［例2］以初速度匕竖直向上抛一物体的位移s与时间1的关系为s1）1，=va--^gt.⑴求物体从时刻到时刻友 a t这段时间的平均速度与；
（2）求物体在1=10s到
10.4s这段时间的平均速度.［思路探索］|由物体运动方闾一|写出位移变化量a s|-w7解
（1）由倒t＜） a t,则改变量为a t.a s=s（友 a t）—s（＜b）=%*（, △t）—友 at）」一外友=△t%—gto△£—£g（△t）\・1a tvlgto•a t--g a t——a sn1°=t7=f=匕—gt—5ga t.
（2）当t=10s时,a2=
0.4s,0则物体在f=10s到
10.4s这段时间的平均速度—1v=v—10g--xgx
0.4=%—
10.2g.乙o规律方法己知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在［好友 △句内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在［好叁 ah内的平均变化率.【变式2】动点尸沿x轴运动，运动方程为x=10f 5巴式中「表示时间（单位s）,x表示距离（单位m）,求在20wcw20 △看时间段内动点的平均速度,其中1a t=l,2a t=
0.1,3a t=
0.
01.解动点在20w1w20 a1时间段内的平均速度为210a 5af=5a方 210,a t—1020 a t 520 a t2-10x20-5x202v=-1当at=l时，-7=5xh-210=215m/s2当a t=
0.1时，r=5x
0.1 210=
210.5m/s⑶当at=
0.01时，v=5x
0.01 210=
210.05m/s.题型三平均变化率的实际应用120【例3】（12分）蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为7（== 15,其中7（8为体温（单位℃）,t为太阳落山后的时间（单位min）.求
（1）从2=0到t=10min,蜥蜴的体温的平均变化率.
（2）体温t（力对时间t的变化率.审题指导利用平均变化率的定义求解.丝 15—地—15-］丁［规范解答］⑴等j———=-16℃/min.70•从£=0到f=10min,蜥蜴的体温的平均变化率为-16c/min（6分）・・
（2）设时间的增量为a b则体温7（的改变量为/,、/、1201120△7=7u △力-7⑺=-= 5 15—壬-15=一120at£ △£ 5£
5.△t-120/
八、••七=、 a£ 5£ 5•（10分）—120故体温73对时间£的变化率为心, 5 .（12分）.【题后反思】平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称.如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比.函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念.【变式3】一正方形铁板在0℃时，边长为10cm,加热后会膨胀，当温度为时，边长变为10l arcm,a为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.解设温度的增量为a2,则铁板面积s的增量△s=102［i a1 a了一i1 2=2003 40r 100a2a z2,,若=200a 才 100#4t.・・误区警示因概念不清而出错【示例】将半径为〃的球加热，若半径从r=\到上加时球的体积膨胀率为,则〃，的值为.4…~jim49q39q［错解］•勺炉化而从41到〃=%体积膨胀率为华打一,.7——=彳/・・-n xi3o思维突破a以上解法没有理解“膨胀率”的概念，从=1到4加时球的体积膨胀率即为£［1,加时的平均变化率.4n3］m—1「丁…14nq4n a/
328..［正解］△v=~r-m-t-x1=~r~m-1,:=k兀.:nf・j j15dk hllj 勿 1=
7.，勿=2或加=—3舍.追本溯源a物理学上的平均速度、膨胀率等就是函数的平均变化率.。
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