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文本内容:
双曲线的几何性质
一、教学目标
（一）知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征.
（二）能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.
（三）学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.
二、教材分析
1.重点双曲线的几何性质及初步运用.（解决办法引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明.）
2.难点双曲线的渐近线方程的导出和论证.（解决办法先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.）
3.疑点双曲线的渐近线的证明.（解决办法通过详细讲解..）
三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结.
四、教学过程
（一）复习提问引入新课
1.椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答.应为范围、时称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的.
2.双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答.应为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标h战方程为捺中心在原点，焦点在曲上的双曲线的标法方程为7v=,-下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.
（二）类比联想得出性质（性质1〜3）引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格（让学生回答，教师引导、启发、订正并板书）.＜见下页＞
（三）问题之中导出渐近线（性质4）在学习椭圆时.，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计椭圆的形状，画出椭圆的简图都有很大作用.依间对双曲线捺，=[,・仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图（图2-26）有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想.接着再提出问题当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？y=9x,a请一同学回答，应为士并画出两条对角线，进一步引导学生从图观察得邺吉论，双曲线的各支破网伸时，与这两条渐下面，我们来证明它:椭团方程— =l《ab0j y2一•一■la0*b0a2b、c关累c1伙，b00•b0金p*范国wa，lytbma yer对筋轴x轴.y轴时际中心原对解轴x轴.y轴时新中心对称性直原点•4»0##0•a»0,a,0实勉力北虚
0.孙0■b输力2b顶点长输力2a短粗力2b双曲线在第一象限的部分可写成:y=-7x3-a2xa a设mx,y是它上面的点，nx.7是直线y=—x上与m有相同a的横坐标的点，则片与x.a・・b r-jy bf—a12,b•y=-vx-a-r=y.a ay3a|mn|=j-y•—x-jx-a--a ax.
5.「xx.x*vxa-a3abx...2设|mq|是点m到宜线y=±x的距离,则有|mq|mn|.当x逐渐增大时，imni逐渐减小，x无限增大，|mn|接近于零，imqi也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线on的下方逐渐接近于射线on.在其他象限内也可以证明类似的情况.我们把两条直细=±叫做双曲线的渐近线.a现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字口2x2b母对蜩而得，所以，双曲线,・a=1的渐近线的方程是x=士;ybpy=a士7*k・b定义，*=±px叫做双曲线w・4=i的渐近线,m=a a ba叫做双曲线=1的渐近线.这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确地画出双曲线,例如画双曲线=先作渐近线y=士:北2〉10〉再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线.
（四）顺其自然介绍离心率（性质5）由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响
1.双曲线的焦足与实轴的比u=£叫做双曲线的离心率，且°〉】.a2・由于:=^^=岳二=后所以遨大，）也越大，即渐近线y=±±x的斜率绝对值越大.这时双曲线的形状就从扁狭逐渐a变得开阔，从而得出双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.这时，教师指出焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变.
（五）练习与例题
1.求双曲线9y276x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正.防把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a=4,虚半轴kb=
3.c=ja. b,=《4, 3=
5.焦点坐标是（0,-5）,（0,5）.离心率为e=£-7•a4渐近线方程为x=±为，即尸土黑43a
2.点m（x,y）到定点f（c,0）的距离和它到定宜线h x二一的c距离的比是常数（3（c〉a0）,求点m的轨迹（图2・27）.a图2-27本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结.解设d是点m到直线1的距离，根据题意，所求轨迹就是集合:p=（m|学=£）.a2由此得;二a化简得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.设c―=b,就可化为=l这就是双曲线的标准方程.由此例不难归纳出双曲线的第二定义.
（六）双曲线的第二定义
1.定义（由学生归纳给出）平面内点m与•定点的距离和它到•条直线的距离的比是常数e=ae〉l）时,这个点mw轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线a叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
2.说明1对于双曲线w・4=l,相应于焦点fc,0的准线方程念==.a bc根据双曲线的对株性，相应于焦点fc0的准线方程是x=・=.c⑵对于双曲线4•摄=1,相应于焦点f0,c的准线方程是y=上，abc梅2赞同，0,・c滩维理粉=.工.c七小结由学生课后完成将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.
五、布置作业
1.已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.i16x2-9y2=144；216x2-9y2=-
144.
2.求双曲线的标准方程1实轴的长是1,虚轴长是8,焦点在x轴上；2焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上；3离心率=应，各为比点m-5,32qs4两条渐近线的方程是y=上\x,名甜点m6・・
1.3,求以椭圆盘 4=1的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双o3曲线的方程.
4.己知双曲线］・=1上的p点到左焦点的距离等于3,求p45点到两准线及右焦点的距离.作业答案:
541.lfj-
5.0,f5,0,e=渐近线方程为y=±gx2542lf,0,-5,f
0.5,e=-.渐近线方程为y=±a//ya/⑴石廿2・q）t52222x yx y⑶行・行=1⑷而7=13l jd35j
4.p点到左港线的定离为2,到右港线的距离是果到右焦点的距离为7
六、板书设计§
2.12双曲线的几何性e
（一）复习提问《三斶近找性质4）《五府习与醐b
1.
1.2・2・（二胜质1~3
（四）富心军（槿质5）列表
（六）双瑛的第二定义g%（课后完成）。
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