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文本内容:
1.1集合的概念
1.元素与集合我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合
2.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的
3.集合中的元素必须满足确定性、互异性与无序性；确定性（元素与集合的隶属关系）x£4或x e4；互异性同一集合中不应重复出现同一元素；无序性集合不同于元素的排列顺序无关；
4.数学中一些常用的数集及其记发
①非负整数集（或自然数集），记作n；
②正整数集，记作n*或n ；
③整数集合，记作z；
④有理数集，记作q；
⑤实数集，记作r
5.集合的表示方法列举法、描述法或图示法；列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法一般地，设集合a中所有具有共同特征p（x）的元素x所组成的集合表示为{x£a|p（x））；venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部改编集合二概率随机事件的概率及概率的意义、基本概念1必然事件在条件下，一定会发生的事件，叫相对于条件的必然事件；i ss2不可能事件在条件s下，一定不会发生的事件，叫相对于条件s的不可能事件；3确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于条件s的确定事件；4随机事件在条件s下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件s的随机事件；5频数与频率在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次na试验中事件出现的次数为事件出现的频数；称事件出现的比例〃为事件出现的概率对于给定的随a na aafna=a机事件a,如果随着试验次数的增加，事件a发生的频率fna稳定在某个常数上，把这个常数记作pa,称为事件a的概率6频率与概率的区别与联系随机事件的频率，指此事件发生的次数na与试验总次数na的比值〃，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小我们把n这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率概率的基本性质、基本概念11事件的包含、并事件、交事件、相等事件2若aab为不可能事件，即acib=，那么称事件a与事件b互斥；若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件；3ac1b aub a b4当事件a与b互斥时，满足加法公式paub=pa pb；若事件a与b为对立事件，则aub为必然事件,所以于是有paub=pa pb=1,pa=1—pb、概率的基本性质2必然事件概率为不可能事件概率为因此这11,0,paw1;2当事件a与b互斥时，满足加法公式paub=pa pb；3若事件a与b为对立事件，则aub为必然事件，所以paub=pa pb=1,于是有pa=1—pb；4互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件a与事件b在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形1事件a发生且事件b不发生；2事件a不发生且事件b发生；3事件a与事件b同时不发生，而对立事件是指事件a与事件b有且仅有一个发生，其包括两种情形；
（1）事件a发生b不发生；
（2）事件发生事件不发生，对立事件互斥事件的特殊情形ba一古典概型及随机数的产生
3.
2.
11、
（1）古典概型的使用条件试验结果的有限性和所有结果的等可能性
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；力包含的基本事件数
②求出事件a所包含的基本事件数，然后利用公式p（a）=总的基本事件个数几何概型及均匀随机数的产生、基本概念1
（1）几何概率模型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式构成事件力的区域长度（面积或体积）p）=试验的全部结果所构成的区域长度（域积或体积）;（a
（1）几何概型的特点1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等.
6.全集与空集⑴包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作u;⑵不含任何元素的集合叫做空集，记为九规定空集是任何集合的子集【例】判断下列集合是否表示的是相同1
①/={1,2},8={1,2}..一不是，一个是点集，一个是数集2j={xejv|0x5},5={xe/|0x5}一不是，元素范围不同
③z={y,=2x l},3={xj|y=2x l}…一不是，一个是点集，一个是数集
④={x|x5},5=3_y5}一一是，元素相同，均是实数，与代表元素无关集合间的基本关系
1.
21.子集一般地，对于两个集合力，b,如果/的任何一个元素都是集合8的元素，则称/是8的子集或〃包含/,记作4口次或4u8；
2.真子集如果力q9但存在元素£8且”人,称/是8的真子集,记作
3.集合相等若力qb且334则称力等于b,记作4=8；若aqb且由沙，则称4是b的真子集，
4.简单性质
①力口力；
②口力；
③若nqb,bqc,则4qr；
5.关于子集的结论一般地，一个集合元素若为〃个，则其子集数为个，其真子集数为20个，其非空真£子集数为29个，其非空子集数为20个特别地，空集的子集个数为l真子集个数为0【例】2⑴满足{1孥{123}的集合m为{1},{1,2},{1,3}⑵集合/={x|x-3〉3},b={x\x5}的关系为a mb3若集合4二{1,36},8=32,1},且8墨力，则x=
0.土也4已知集合4={x|l wx4},8={中〃},若4mb,则实数q的取值集合为{4〃24}集合的基本运算
1.
31.并集一般地，由所有属于集合4或属于集合8的元素所组成的集合，称为集合4与8的并集记作aub,并第4d8={x|x£4或xw8}注
①4u4=；
②4u
①=4
③/u8=8u/；
④若4qboaub=b
2.交集一般地，由属于集合4且属于集合8的元素所组成的集合，叫做集合力与8的交集记作ac1b,交集4c3={x|xe4且xeb}
①/n4=力,
②4n
①二
①，
③/n8=/，nx；
④/u804c3=4；
⑤4n/c jc j u^;
3.补集对于一个集合a,由全集u中不属于集合a中的所有元素组成的集合成为集合a相对于全集u的补集，简称集合a的补集，记为g/即c={x|x wukx与a}；®jaqj=0a\jca=u
③的品/=4
④品〃=0
⑤匕0=/®♦u
⑥反演律结论n阴=c/us qju8=c jnc，b【例】31已知集合”={0,1,2,4,5,7},n={1,4,6,8,9},/={4,7,9},则mnnumn尸等于{147}⑵设集合m={〃7£z|-3〃72},n={nez\-\n3},则a/cn={-1,0,1}的必要条件；3a=b,则a是b的充要条件；4除上述三种情况是既非充分又非必要条件【例】4下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；2若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；⑶若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；4若x=l,则x=l；5^a=b,贝ljac=bc；6若x,y为无理数，则xy为无理数.解⑴这是一条平行四边形的判定定理，pnq,所以p是q的充分条件.2这是一条相似三角形的判定定理，pnq,所以p是q的充分条件.⑶这是一条菱形的性质定理，paq,所以p是q的充分条件.4由于-12=1,但pnq,所以p不是q的充分条件.⑸由等式的性质知，pw才木，所以p是施的充分条件.6夜为无理数，但x=2为有理数，/pnq,所以p不是q的充分条件.【例】5下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？1若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；⑵若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；3若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形;4若x=l,贝收2=1；5若ac=bc,贝i]a=b；6若xy为无理数，则x,y为无理数.解⑴这是平行四边形的一条性质定理，pnq,所以，q是p的必要条件.⑵这是三角形相似的一条性质定理，pnq,所以，q是p的必要条件.3如下图，四边形abcd的对角线互相垂直，但它不是菱形，p^q,所以q不是p的必要条件.4显然，p=q,所以q是p的必要条件.⑸由于-1x01x0,但p^=q,所以，q不是p的必要条件.⑹由于lx或为无理数，但1,鱼不全是无理数，p»q,所以q不是p的必要条件.【例6】下列各题中，哪些p是q的充要条件？lp四边形是正方形，q四边形的对角线互相垂直且平分；2p两个三角形相似，q两个三角形三边成比例；3pxy0,qx0,y0；4px=l是一元二次方程ax2 by c=0的一个根，qa b c=0a/
0.解:1因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形为什么，所以q#p,所以p不是q的充要条件.⑵因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理，“若q,则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即poq,所以p是q的充要条件.3因为xy0时，x0,y0不一定成立为什么，所以p=4q,所以p不是q的充要条件.4因为“若p,则q”与“若q,则p”均为真命题，即poq,所以p是q的充要条件全称量词与存在量词
1.
51.全称量词、全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，用符号“v”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题那么全称量词命题“对”中任意一个占有p㈤成立可用符号简记为v xem,pxq
2.存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，这些词语都是表示整体的一部分并用符号f”表示含有存在量词的命题叫做存在量词命题存在量词命题“存在中一个/使p㈤成立“可以用符号简记为:bxem,pxo
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
①全称量词命题pvxem,px的否定一1p3x ea/,/;x00
②存在量词命题p3x ea/,/;x的否定fpvxwm,—1px00高中统计与概率知识点（文科）
（一）统计
一、简单随机抽样.总体和样本1在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分演，叼，,/x•••研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.简单随机抽样，也叫纯随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
2.机地抽取调查单位特点是每个样本单位被抽中的可能性相同（榻率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性.简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础.通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法简单随机抽样常用的方法
3.
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑
①总体变异情况；
②允许误差范围；
③概率保证程度抽签法
4.
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况随机数表法
5.例利用随机数表在所在的班级中抽取位同学参加某项活动1
二、系统抽样
1.系统抽样（等距抽样或机械抽样）把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取（抽样距离）（总体规模）（样本规模）k=n/n前提条件总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点如果有明显差别，说明样本在总体中的分布成某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度
三、分层抽样分层抽样（类型抽样）
2.先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本两种方法
（1）先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取
（2）先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，
3.所有的样本进而代表总体分层标准
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量.
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量分层的比例问题
4.
（1）按比例分层抽样根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法
（2）不按比例分层抽样有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较.如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构
四、用样本的频率分布估计总体分布.频率分布直方图1
①组距与分组样本容量越大，分组越多，当样本容量不超过100时，一般可分成5〜12组，组距力求“取整”
②直方图中小长方形的面积表示相应各组的频率，小长方形的面积之和为lo
③频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.茎叶图茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，中间的数字表示得数的十位数，旁边的数字分别表2示两个人得分的个位数.一般将各个数据的叶按大小次序写在茎的左右侧
五、用样本的数字特征估计总体的数字特征u 士 二 与.n平均数
1..极差一组数据中的最大值减去最小值的差，它反映了这组数据的偏离程度.
23.方差________________________________________.标准差s=gj--亍 …-五4〃，标准差越小越稳定.v.用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差在随5机抽样中，这种偏差是不可避免的虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
6.12如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍3一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间丘-3s， 3s的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.如何从频率分布直方图估计样本的数字特征7
①中位数在直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
②平均数在直方图中，平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
六、两个变量的线性相关、概念11回归直线方程散点图中的点从整体上看分布在一条直线附近，这条直线叫回归直线.回归系数直线方程丫=我们把直线方程记作其中，叫做回归系数是直线的斜率，是截21« 1,y=bx a,a,b.b a距.最小二乘法
8.直线回归方程的应用
9.描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系12利用回归方程进行预测；把预报因子即自变量x代入回归方程对预报量即因变量y进行估计,即可得到个体丫值的容许区间3利用回归方程进行统计控制规定丫值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标如已经得到了空气中的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中的浓度no2no2。
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